摘要：利用解析幾何和條件極值理論研究了用平面（或圓柱面）砂輪刃磨鉆頭時形成的鉆尖后刀面的包絡特性，結(jié)果表明，刃磨形成的鉆尖后刀面由平面螺旋運動包絡曲面和位于中心區(qū)域的非包絡曲面組成。非包絡區(qū)域面積與螺旋運動導程及砂輪平面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角有關，導程和夾角越大，非包絡區(qū)域也越大。
1 問題的提出在實際加工中，經(jīng)常采用普通螺旋面刃磨法對鉆頭的鉆尖后刀面進行刃磨。刃磨原理如圖1所示，鉆頭在繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的同時沿軸線方向相對于平面（或圓柱面）砂輪向前推進，即作普通螺旋運動。為求出通過刃磨得到的鉆尖后刀面的結(jié)構參數(shù)和橫刃參數(shù)，通常可按平面螺旋運動生成的包絡面進行求解。首先建立圖1所示坐標系。平面包絡方程為 { -xcosqcosw-ycosqsinw+zsinq+h-k2wsinq=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（1）
圖1 普通螺旋面刃磨原理
式中：h——初始包絡面到坐標原點的zui小距離 k2——鉆頭推進速度與自轉(zhuǎn)速度之比 q——旋轉(zhuǎn)軸與包絡平面的夾角 u，w——刃形參數(shù) rs——砂輪半徑 其它中間變量包括： n=[（lcosq+usinq）2+k22sin2q
ne=（-lcos2q-usinqcosq）/n
ne1=-k2sinq/n
nk=（lsinqcosq+usin2q）/n
l=rs+h
平面包絡螺旋面的包絡線如圖2所示。由圖可見，這些包絡線在鉆頭端面包絡出一個圓。根據(jù)平面包絡方程式（1）可知，包絡線在xoy平面上的投影線方程為
圖2 平面包絡螺旋面的包絡線
圖3 平面及其上直線的初始位置
{ z=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（2）
該投影線的包絡曲線方程為 { xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
xcosqcosw+ycosqsinw=0
（3）
由于該包絡曲線是半徑為k2tanq 的圓，因此在靠近旋轉(zhuǎn)中心、以k2tanq 為半徑的圓柱以內(nèi)的區(qū)域不是平面螺旋運動的包絡面，即為非包絡區(qū)。但是，顯然不能認為非包絡區(qū)未被砂輪磨削。本文利用解析幾何和條件極值理論，對平面螺旋運動生成的鉆尖后刀面的包絡區(qū)和非包絡區(qū)進行了理論分析。2 直線包絡曲面與平面包絡曲面的關系在圖3所示坐標系中，平面方程為 x=ztanq （4）
在平面上取一直線，其初始位置方程為 { x=ztanq
y=a
（5）
該直線繞z 軸旋轉(zhuǎn)a=wt 角后其方程為 { xcosa+ysina=（z-vt）tanq
-xsina+ycosa=a
（6）
式（6）為平面上一直線形成的掃成面方程。為研究直線包絡形成的曲面與平面包絡形成的曲面之間的關系，選取一條平行于z軸的直線 { x=a
y=b
（7）
并求出該直線與直線包絡曲面和平面包絡曲面的交點。如果將背離z軸方向的區(qū)域作為材料去除部分，則材料去除越多，交點的z值越大，據(jù)此可對兩種曲面對zui后生成面所起的作用進行比較。該直線與直線包絡曲面的交點為 z= （a2+b2-a2）? cotq+ v （arccos a -f）
（a2+b2）? w （a2+b2）?
sinf= a
（a2+b2）?
（8）
由式（8）可知，z 值與直線在平面上的位置有關，也與選擇求交的直線位置有關。對a值求導可得 dz = a cotq- v 1
da （a2+b2）?（a2+b2-a2）? w （a2+b2）?（a2+b2-a2）?
（9）
令導數(shù)為零，可得 a =-（v/w）tanq （10）
當a=-（v/w）tanq時，z有極值，且與（a，b）的取值無關。而a=-（v/w）tanq時直線形成的包絡面正是平面包絡形成的曲面。 通過以上分析不難看出，平面運動的包絡面就是平面上所有直線掃成面的條件極值的集合。3 非包絡區(qū)域的特性分析非包絡區(qū)是指平面包絡運動時在半徑為（v/w）tanq的圓內(nèi)形成的非包絡部分。由式（9）可知，當a>-（v/w）tanq時，導數(shù)<0，因此該函數(shù)為減函數(shù)。選取非包絡區(qū)內(nèi)一點，由其對應的zui小a值確定的交點就是終值點，即 a=（a2+b2）? （11）
z=（v/w）（p-f） （12）
式中，f 值可由式（8）中的第二式求得，并應根據(jù)（a，b）所在象限對f 值進行修正；z 是（ a，b）的函數(shù)。 包絡區(qū)與非包絡區(qū)的界線稱為脊線。分別在脊線上、脊線外和脊線內(nèi)選定位置點，然后通過計算分析平面轉(zhuǎn)動360°過程中與選定直線交點z 值的變化規(guī)律。計算結(jié)果如圖4～圖6所示，圖中，橫坐標為平面螺旋運動的轉(zhuǎn)角，縱坐標為平面與選定直線交點的z 值；（a）～（d）分別表示直線在*～ 第四象限內(nèi)；平面螺旋運動參數(shù)為v=5.3，w=2p/ 5，q=60°。
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖4 所選點在脊線上時的z值曲線
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖5 所選點在脊線外時的z值曲線
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖6 所選點在脊線內(nèi)時的z值曲線
由圖可知：①當所選點位置在脊線上時，z值曲線有拐點，但無局部極值，為全域增函數(shù)（見圖4）；②當所選點位置在脊線以外時，z 值曲線有拐點，存在局部極值，且不同象限的極值點不同（見圖5）；③當所選點位置在脊線以內(nèi)時，z 值曲線沒有拐點，為全域增函數(shù)（見圖6）。 圖7所示為所選位置點在相同象限內(nèi)但位置半徑變化時z 值曲線的變化情況。由圖可見，隨著所選點位置半徑的增大， z值曲線由直線逐漸變彎，由無極值到有局部極值，且局部極值逐漸增大。由圖7還可看出，當平面旋轉(zhuǎn)一周時，所有z值曲線均經(jīng)過兩點，這兩點對應的z值與交點位置有關，其關系式為：tana=-a/b。對于圖7a所示交點位置，當a=b時，a值分別為135°和315°。
（a）平面螺旋運動速度v=5.3
（b）平面螺旋運動速度v=0
a=b 0.a=0 1.a=10 2.a=20 3.a=30 4.a=40 5.a=50 6.a=60 7.a=70 8.a=80 9.a=90
圖7 相同象限內(nèi)所選點位置半徑變化時的z 值曲線
4 結(jié)論通過以上分析，可得出如下結(jié)論： 采用普通螺旋面法刃磨形成的鉆頭后刀面的一部分區(qū)域為砂輪平面螺旋運動的包絡面，另一部分區(qū)域則為非包絡面； 平面螺旋運動的包絡面是平面上所有直線掃成面的條件極值的集合； 采用普通螺旋面法或復雜螺旋面法刃磨鉆頭時，僅用包絡面求取鉆尖結(jié)構參數(shù)是不全面的； 平面螺旋運動形成的非包絡區(qū)域的面積與螺旋運動的導程和砂輪平面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角有關，即導程和安裝夾角越大，非包絡區(qū)域面積也越大。