摘要 首先對銑削過程中切削扭矩的波形特征進行了研究；建立了銑削過程的隨機自回歸模型，將自回歸算法應用到刀具破損監(jiān)測中，并介紹了用zui小均方算法對自回歸模型進行參數估計的方法；以實驗的方法研究了步長因子的特征及模型階數的選取。
關鍵詞：刀具破損檢測 自回歸算法 銑削application of the autoregressive method in
cutting tool breakage monitoring in milling process
liu xiaodong
abstract in this paper,the characteristic of milling torque waveform is analyzed.in order to distinguish tool breakage in milling process a stochastic ar model is established,the parameters of which are estimated by lms method.with the experiment the characteristic of the step factor and the order of ar model are researched.
key words：cutting tool breakage monitoring;autoregressive algorithm;milling
隨著生產自動化程度的提高，人們越來越重視加工過程中刀具破損的在線監(jiān)測。破損是刀具的主要失效形式之一。刀具在機械沖擊作用下或刀具材料發(fā)生疲勞（機械或熱疲勞），其內部應力如果超過刀具材料的強度極*，切削刃將斷裂并從刀具體上脫落下來，形成破損。在切削加工過程中，刀具發(fā)生破損必然會通過各種現象或信號（如切削力、聲音等）表現出來。在眾多的信號中，使用切削力（扭矩）對刀具破損進行監(jiān)測是zui常用的也是zui有效的方法。本文首先研究了銑削過程中切削扭矩的波形特征；然后將自回歸算法引入到刀具破損監(jiān)測中，重點研究了自回歸算法在刀具破損監(jiān)測中的應用，介紹了用zui小均方算法對自回歸模型進行參數估計的方法；并對自回歸模型的步長因子μ、階數p等進行了較詳細的研究。
刀具破損時程度各不相同，有時是小塊切削刃脫落，有時是大塊切削刃脫落，更有甚者是整個刀具折斷。一般來講，破損量較大時切削力信號的變化較強烈，容易識別；而較小的破損則較難識別。本文只就小塊切削刃的破損進行研究。
本文所使用的銑削力（扭矩）測量裝置是一把帶有力傳感器和感應供電裝置的切削力遙測刀柄［1］，測力刀柄可以測量出鉆、銑削過程中刀具受到的切削扭矩。
1 銑削過程中切削扭矩的波形特征
由于采用銑削扭矩作為刀具破損監(jiān)測的依據，所以需要了解銑削扭矩的變化規(guī)律，這樣才能對刀具的破損進行識別。本文實驗所用的銑刀選擇高速鋼三齒螺旋槽立銑刀，工件材料為調質45鋼。
測力刀柄每隔一定的時間采集一次銑削扭矩數值，并將這些離散點相連接，形成了扭矩的波形曲線。銑刀每轉內采集的點數是確定的（本文為每轉采集60個數據），由安裝在銑床主軸端部的編碼器決定。
首先分析正常銑削過程中切削扭矩的波形特征（圖1a）：扭矩信號是周期性的，其基頻就是銑刀的轉動頻率，每個周期內的三個波峰分別表示銑刀三個齒的切削扭矩。理論上講，每個刀齒相鄰兩個周期（即相鄰兩轉）之間切削扭矩的波形（形狀和幅值）應該相同，也就是說，相鄰兩轉對應點（如圖1a中a1、a2點）的幅值相等。但是，在同一周期內，各個刀齒之間的切削扭矩波形并不一定相同，這主要是由于各個刀齒的幾何角度、刃口質量略有差異以及銑刀安裝偏心等因素造成的。
圖1 三齒立銑刀銑削扭矩波形特征
（a）正常銑削 （b）模擬破損 （c）模擬破損 （d）經過氣孔
刀具破損的偶然性很大，較難捕捉并記錄下來，給實驗帶來很大的困難，因此本文采用了模擬破損的方法。具體做法如下：先用完好的刀具銑削，記錄下切削扭矩的數據；然后停車，在不拆卸刀具、工件的情況下，用手動砂輪在切削刃上磨出缺口，模擬破損；接著用帶缺口的刀具繼續(xù)銑削并記錄切削扭矩的數據。這樣做可以獲得銑刀破損前后的扭矩波形，但無法再現破損瞬間扭矩的變化情況。根據本文下面的分析可以知道，利用自回歸算法監(jiān)測刀具破損主要需要識別破損前后銑削扭矩的變化，破損瞬間的變化規(guī)律倒不是zui重要的。
一般來講，切削刃產生缺口后將有兩種情況發(fā)生：一種情況是缺口處仍保持可以繼續(xù)切削的正后角，但該處的切削厚度將減小，缺口處切削刃少切削甚至不切削工件，切削扭矩降低，這樣扭矩波形就出現了凹陷，與破損齒相鄰的下一齒將切掉破損齒沒有切掉的部分材料，所以扭矩波形會出現一個凸起（圖1b）；第二種情況是缺口處的后角變?yōu)榱慊蜇撝?，此時該處后刀面與工件的摩擦劇增，使切削扭矩驟然增大（圖1c）?？梢哉f，不論哪一種情況，破損前后切削扭矩的幅值和波形都將發(fā)生變化。
如同刀具破損時切削扭矩波形將發(fā)生變化一樣，在某些特殊情況下（如銑刀切入、切出工件，工件表面有孔、槽、臺階，工件表面不平整等），切削扭矩的波形也將發(fā)生變化。這樣就涉及到刀具監(jiān)測的另外一個問題：即如何將特殊情況下的切削與刀具破損區(qū)別開來，以避免發(fā)生錯誤的判別。圖1d是銑削有氣孔（氣孔直徑約為5.2mm）工件的銑削扭矩波形，從圖中可以看出，銑刀經過氣孔時每個刀齒切削扭矩波形將出現凹陷，形成中間低洼的“駝峰”狀波形。
所有特殊條件下的切削都會使相鄰兩轉之間銑削扭矩的波形發(fā)生變化。如何將這種變化與刀具破損時扭矩的變化區(qū)別開來，通過仔細觀察可以發(fā)現：刀具破損引起切削扭矩的變化是一個突變過程，即在相鄰兩轉之間扭矩的幅值突然增大；而特殊條件下切削扭矩的變化則是一個緩變的、漸進的過程。以圖1d為例，雖然整個過程中切削扭矩發(fā)生了較大的變化，但變化是緩慢過渡的，即銑刀逐漸切入氣孔，并逐漸切離氣孔，因此相鄰兩轉之間扭矩的變化相當小。切削扭矩的突變性和緩變性是區(qū)分兩者的重要特征，這一點為自回歸算法排除誤報提供了客觀依據。
至此，我們可以根據切削扭矩的變化用肉眼判斷刀具的狀態(tài)（是否破損）。接下來就要使計算機能夠根據切削扭矩的數據自動識別銑削扭矩波形的變化，從而進一步判斷刀具是否破損，這就是監(jiān)測算法的研究。
2 銑削過程的自回歸（autoregressive）模型
2.1 自回歸模型的建立
離散的動態(tài)銑削過程（如圖1a～d所示）可以用兩個模型合并描述：過程中確定的、有規(guī)律的成分可以用動態(tài)傳遞函數描述，過程中的隨機成分可以用隨機模型來描述，見圖2。這樣，任一時刻t的輸出f（t）可以表示為：
?。?）式中f（t）——t時刻的銑削扭矩
u（t）——切削條件（如切削用量、工件材質等）
a（t）——干擾銑削過程的隨機輸入成分
b——后移算子
式（1）右邊的前一項表示沒有隨機干擾成分時銑削力的幅值，它是由切削條件決定的，因為是周期性的、穩(wěn)定的成分，所以對刀具破損的識別沒有意義?？梢酝ㄟ^將相鄰兩轉扭矩波形對應點求一階差分的方法將這一項濾掉（見圖1a），即一階差分
δf（t）＝f（t）－f（t－t）?。?）
展開得：
其中t表示銑刀每個轉動周期內采集的銑削扭矩點數（對應于銑刀的轉動周期），化簡得：
?。?）這樣就得出以一階差分為輸出的銑削過程模型。由于a（t）－a（t－t）是隨機輸入量，所以這個模型是一個隨機模型，稱為自回歸滑動平均模型arma（p,q）（其中p、q是模型的階數）。它由兩部分組成：自回歸項φp（b）（autoregressive,簡稱ar）和滑動平均項γq（b）（moving average，簡稱ma）。其中低階的自回歸模型是一個線形濾波器，比較適合監(jiān)測變化較快的動態(tài)過程，所以通常采用自回歸模型進行實時監(jiān)測［3］。
圖2 動態(tài)銑削過程模型
p階自回歸模型可以表示為：
?。?）或者
?。?）其中δf（t），δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）分別是t,t-1,t-2,…,t-p時刻切削扭矩的一階差分，φ1，φ2，…，φp是模型參數。
另外，t時刻的δf（t）值可以由已經求得的參數φ1，φ2，…，φp和t-1時刻以前（包括t-1時刻）的δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）值估計，即
?。?）其中“∧”表示估計值。實際上就是根據以前的數據對即將產生t時刻的數據進行的預估值，所以沒有包含過程中可能出現的隨機因素的影響。將實測值δf（t）與估計值相減就得到t時刻影響過程的隨機成分，即
?。?）δ（t）稱為殘余誤差（residual error），表示實驗測量值和估計值之差。
2.2 自回歸模型的時變參數估計
下面的問題是如何利用t-1時刻以前（包括t-1時刻）的δf值對t時刻的δf值進行估計，從而求得殘余誤差。關鍵在于如何計算模型參數φ1，φ2，…，φp，它們需要自適應確定。本文引入了zui小均方算法（lms）對ar模型進行時變參數估計，其特點是無需計算相關函數，也不必進行矩陣求逆［2］，所以運算簡單，可以保證監(jiān)測的實時性。
lms算法用于ar（p）模型的時變參數估計可以簡單地歸納如下：
給定參數：模型階數p，步長因子μ
初始條件：t=0時，p維向量初值
lms算法的表達式為，t＝0，1，2，…時
?。?）其中
φ（t）＝［φ1（t），φ2（t），…，φp（t）］?。?）
表示t時刻由模型參數構成的向量，
δf（t）＝［δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）］t?。?0）
表示t-1時刻以前（包括t-1）的δf值組成的向量，為t時刻的估計值。
利用這組遞推公式就可以對ar模型的參數進行時變估計，并求出任一時刻t的殘余誤差值δ（t）。
3 自回歸模型在刀具破損監(jiān)測中的應用
3.1 自回歸算法用于刀具破損監(jiān)測
從以上介紹可以看出，隨機自回歸模型的輸入是一個隨機過程，輸出是殘余誤差。如果輸入量是一個穩(wěn)定的隨機過程，輸出的殘余誤差是噪聲信號（即均值為零，方差為常數），它的值很小，在零點上下波動；如果這一隨機輸入突然偏離穩(wěn)定過程，ar模型將被擾亂，它在至少p（ar模型的階數）個間隔（也就是處理p個數據）之內不在跟蹤隨機過程，輸出殘余誤差的幅值將突增。殘余誤差值的變化幅度比輸入信號的變化幅度要大得多，也就是說，自回歸算法有對輸入進行放大的作用。
在正常銑削過程中（圖1a），對切削扭矩進行一階差分濾波后，得到的是一系列平穩(wěn)的隨機數據，這些數據經ar模型處理后得到平穩(wěn)的殘余誤差輸出，見圖3a，其幅值小于圖示切削扭矩單位。當刀具破損時（圖1b、c），前后兩轉之間切削扭矩的突變使一階差分突然變化，穩(wěn)定的隨機輸入過程被破壞了，從而使殘余誤差的輸出值產生突變。圖3b表示圖1c的數據經ar模型處理后得到的殘余誤差輸出，其幅值范圍為-14.65～19.40切削扭矩單位。當銑刀經過工件的氣孔時（圖1d），切削扭矩的一階差分值也會發(fā)生變化，輸出的殘余誤差要比正常銑削時大（見圖3c），其幅值范圍為圖示切削扭矩單位。由于特殊條件下切削扭矩的變化是緩慢漸進的，所以相鄰兩轉之間一階差分值的變化并不顯著，因此輸出的殘余誤差要比刀具破損時小得多。
圖3 ar模型的殘余誤差輸出
（a）正常銑削過程?。╞）銑刀破損?。╟）銑刀經過氣孔
以殘余誤差值作為識別刀具破損的依據。由于刀具破損時殘余誤差的值域范圍比另外兩種情況大得多，所以，只要制定合理的殘余誤差門限值，使之位于破損時殘余誤差zui大值和另外兩種情況殘余誤差zui大值之間，將實時計算的每個殘余誤差和破損門限值進行比較，就可以判斷出刀具的破損值。
本文采用的模擬破損方法只能采集到刀具破損前后的數據。從上面的介紹可以看出，自回歸算法可以識別刀具破損前后銑削扭矩的變化，所以模擬破損的實驗方法有其合理性的依據。事實上，刀具破損瞬間能量的突然釋放勢必要求切削功率（功削扭矩）突然增大，這一點可以由偶然觀察到的刀具破損時的扭矩波形得以證實。所以可以推測，刀具自然破損時自回歸模型的殘余誤差輸出也將發(fā)生較大的變化。
ar算法用于刀具破損監(jiān)測需要解決的問題有自回歸模型步長因子和階數的確定，下面分別加以說明。
3.2 自回歸模型步長因子的確定
對于一個隨機過程來講，ar模型的參數φ是確定的（存在一個理論值），不會因輸入量的隨機變化而變化。銑削過程自回歸模型的參數φ無法直接計算出來，所以需要設初值為零，然后通過迭代的方法自適應確定。φ從零到理論值的變化是一個收斂過程，當參數收斂到理論值附近時，ar模型達到穩(wěn)定狀態(tài)，參數將不再隨輸入量的變化而發(fā)生較大的變化，它只在很小的范圍內波動。
步長因子μ就決定著φ的收斂速度。雖然使用zui小均方算法對ar模型進行參數估計的計算量很小，可以保證監(jiān)測的實時性，但zui小均方算法步長因子μ的分布范圍非常廣。由實驗得知，對于銑削扭矩的一階差分這一隨機過程來講，μ的范圍在0～700之間，這樣μ就較難確定。圖4表示當μ＝50，200，400時一階ar模型參數的收斂情況。從圖中可以看出，當μ值選取過小時（如μ＝50），收斂速度將非常慢，以至于一個切削過程結束了，參數還遠遠沒有收斂到它的理論值。如果參數沒有收斂到它的理論值，當刀具破損時殘余誤差雖然也會有變化，但這一變化比參數收斂后殘余誤差的變化要小得多。也就是說，沒有達到穩(wěn)定狀態(tài)的ar模型對干擾的反應不夠靈敏，這樣就有可能識別不出刀具的破損。如果μ值太大（如μ＝800時），盡管ar模型參數的收斂速度很快，但模型的穩(wěn)定性也較差，很容易造成數據的發(fā)散（圖4中沒有表示出來）。只有選擇較合適的μ值（如μ＝400時），模型既保持較快的收斂速度（從圖中可以看出，在采集幾個數據后參數就收斂了），又不致引起模型參數的發(fā)散。由實驗可以確定，μ取400左右較為合適。
圖4 步長因子μ對ar（1）模型參數收斂的影響
3.3 自回歸模型階數的確定
從式（8）可以看出，模型階數p即代表著ar模型每次處理數據的個數。確定階數要同時考慮以下兩個方面：
首先要考慮計算時間。階數越高，每次處理數據的時間越長，選擇太高的階數會使運算量（時間）增長。由于現在計算機處理數據的速度越來越快，通過實驗可以知道，在常規(guī)銑削速度范圍內，即使選用30階ar模型仍可以做到實時性，所以計算時間的限制可以從輕考慮。
ar模型階數的確定主要是由切削過程決定的。概括地說，對于同一隨機過程，階數越高，對干擾的反應越敏感（即殘余誤差輸出越大），這樣識別破損的可能性也越大。但是，前面講過，切削過程中不但刀具破損會使切削扭矩發(fā)生變化，而且在某些特殊切削條件下切削扭矩波形也將發(fā)生變化，殘余誤差也將增大。這樣就產生了一個矛盾：從刀具破損識別的角度來看，要求ar模型對干擾的反應越敏感越好，以便識別刀具的破損；但若刀具進入特殊的切削狀態(tài)，則要求ar模型對干擾的反應越遲鈍越好，以避免發(fā)生誤報。而合理選擇ar模型的階數可以協調這一矛盾。通過實驗發(fā)現，在銑刀每轉采集60個數據的條件下，選用15階ar模型效果較好?！〗Y論
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本文研究了自回歸方法在銑削過程刀具破損監(jiān)測中的應用。首先對銑削過程切削扭矩的波形特征進行了研究，在此基礎上建立了銑削過程的隨機自回歸模型，引入了zui小均方算法對自回歸模型進行時變參數估計，以實驗的方法研究了步長因子的規(guī)律及模型階數的選取。
從上面的介紹可以看出，自回歸模型用于刀具破損也有其局限性，它并沒有從實質上將刀具破損和特殊工況下的切削區(qū)別開來，如果刀具沒有破損而相鄰兩轉之間切削扭矩變化大到一定程度時，監(jiān)測系統仍然會認為刀具破損。